151 lines
6.7 KiB
TeX
151 lines
6.7 KiB
TeX
|
\documentclass[prb, notitlepage, aps, 11pt]{revtex4-2}%
|
|||
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|||
|
|
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
|||
|
|
\usepackage[english, russian]{babel}
|
|||
|
|
\usepackage{listings}
|
|||
|
|
\usepackage{amssymb}
|
|||
|
|
\usepackage{graphicx,amsmath}
|
|||
|
|
\usepackage{enumitem}
|
|||
|
|
\usepackage{nicefrac}
|
|||
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|||
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|||
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
|||
|
|
\usepackage{comment}
|
|||
|
|
\usepackage{bm}
|
|||
|
|
\usepackage{delimset}
|
|||
|
|
\usepackage[pdftitle = a]{hyperref}
|
|||
|
|
\usepackage{datetime}
|
|||
|
|
\hypersetup{
|
|||
|
|
colorlinks=true,
|
|||
|
|
linkcolor=blue,
|
|||
|
|
filecolor=magenta,
|
|||
|
|
urlcolor=cyan,
|
|||
|
|
pdfpagemode=FullScreen,
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{document}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
% \begin{center}
|
|||
|
|
% версия от \today \quad \currenttime
|
|||
|
|
% \end{center}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\title{\texorpdfstring{
|
|||
|
|
Численные методы, осень 2022\\
|
|||
|
|
Задание 2 [SVD-разложение и его применения] \\
|
|||
|
|
Всего баллов: 40 \ Срок сдачи: 21 октября
|
|||
|
|
}{}
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\maketitle
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\section*{Рекомендованная литература}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{itemize}
|
|||
|
|
\item Лекции 4-5 из \cite{trefethen1997numerical}
|
|||
|
|
\item Лекция 2 из \cite{tyrtyshnikov2012brief}
|
|||
|
|
\item \href{https://stats.stackexchange.com/questions/2691/making-sense-of-principal-component-analysis-eigenvectors-eigenvalues}{StackExchange: в чём смысл собственных векторов, собственных чисел и анализа главных компонент}
|
|||
|
|
\end{itemize}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\section*{Упражнения}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{enumerate}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{comment}
|
|||
|
|
\item (5) Construct (manually) SVD decomposition of the following matrices:
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
(a)\quad\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
3 & 0\\
|
|||
|
|
0 & -2
|
|||
|
|
\end{bmatrix},\quad
|
|||
|
|
(b)\quad\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
0 & 2\\
|
|||
|
|
0 & 0\\
|
|||
|
|
0 & 0
|
|||
|
|
\end{bmatrix},\quad
|
|||
|
|
(c)\quad\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
1 & 1\\
|
|||
|
|
1 & 1
|
|||
|
|
\end{bmatrix}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
For the case (b), construct both full and reduced SVD decomposition via \path{np.linalg.svd}.
|
|||
|
|
\end{comment}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item (10) В этом упражнении мы познакомимся с
|
|||
|
|
тремя основными алгоритмами вычисления сингулярного разложения, доступными в Python: \path{numpy.linalg.svd}, \path{scipy.sparse.linalg.svds} и \path{sklearn.utils.extmath.randomized_svd}.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{itemize}
|
|||
|
|
\item Создайте матрицу $A$ размера $n\times n \ (n=2000)$ со случайными элементами из стандартного нормального распределения.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item С помощью этих трёх алгоритмов (и теоремы Эккарта-Янга?) аппроксимируйте матрицу $A$ матрицами ранга 2.
|
|||
|
|
Вы получите матрицы $A_\text{svd}$, $A_\text{svds}$ и $A_\text{rsvd}$. Измерьте времена выполнения.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item Вычислите нормы отклонений: $\norm{A-A_\text{svd}}_F \quad \norm{A-A_\text{svds}}_F \quad \norm{ A - A_\textrm{rsvd}}_F$\\ Объясните результат.
|
|||
|
|
\end{itemize}
|
|||
|
|
\item (5) Пусть матрица $A$ размером $m\times n$ имеет сингулярное разложение $A = U\Sigma V^T$.
|
|||
|
|
Выразите через $U$, $\Sigma$ и $V$ сингулярные разложения следующих матриц:
|
|||
|
|
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|||
|
|
\item $\left(A^T A\right)^{-1}$
|
|||
|
|
\item $\left(A^T A\right)^{-1}A^T$
|
|||
|
|
\item $A\left(A^T A\right)^{-1}$
|
|||
|
|
\item $A\left(A^T A\right)^{-1}A^T$
|
|||
|
|
\end{enumerate}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item (10) Рассмотрим матрицу:
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\begin{bmatrix}
|
|||
|
|
-2 & 11\\
|
|||
|
|
-10 & 5
|
|||
|
|
\end{bmatrix}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\begin{itemize}
|
|||
|
|
\item Выпишите сингулярные числа, а также левые и правые сингулярные векторы матрицы $A$. Так как SVD-разложение не единственно, найдите то разложение, в котором матрицы $U$ и $V$ имеют наименьшее количество отрицательных элементов.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item Нарисуйте единичный круг и его образ под действием оператора $A$. Изобразите сингулярные векторы и отметьте их координаты.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item Чему равна спектральная норма и норма Фробениуса матрицы $A$?
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item Найдите $A^{-1}$ с помощью SVD-разложения.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item Найдите собственные числа $\lambda_1$ и $ \lambda_2$ матрицы $A$.
|
|||
|
|
\end{itemize}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item (5) В файле \path{A.npy} находится матрица $A$ размера $n\times n$. Определите наилучшее приближение следующего вида, в котором переменные разделяются: $A_{ij} \approx h_i\eta_j$. Чему равна относительная ошибка такой аппроксимации?
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\delta_{\textrm{err}}=\frac{\sqrt{\sum_{ij}\left(A_{ij}-h_i\eta_j\right)^2}}{\sqrt{\sum_{ij}A_{ij}^2}}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
Сколько понадобится слагаемых, чтобы приближение стало точным?
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
A_{ij} = \sum_{\alpha=1}^K h_{\alpha i}\eta_{\alpha j}
|
|||
|
|
\qquad
|
|||
|
|
K = {} ?
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item (10) В этом упражнении мы применим SVD-разложение к задаче уменьшения размерности. Начнём с загрузки датасета:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\lstset{language=Python}
|
|||
|
|
\lstset{frame=lines}
|
|||
|
|
\lstset{label={lst:code_direct}}
|
|||
|
|
\lstset{basicstyle=\ttfamily}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{lstlisting}
|
|||
|
|
from sklearn.datasets import load_digits
|
|||
|
|
digits = load_digits()
|
|||
|
|
A = digits.data
|
|||
|
|
y = digits.target
|
|||
|
|
\end{lstlisting}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Каждая строка массива \path{A} состоит из 64 чисел с плавающей точкой, которые задают черно-белое изображение $8 \times 8$. Это изображение цифры. Сами цифры (метки данных) указаны в массиве \path{y}.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{itemize}
|
|||
|
|
\item Изучите датасет. Постройте изображения нескольких цифр, например, 0, 3, 7
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item Отнормируйте датасет \path{A}.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\item С помощью SVD-разложения спроецируйте датасет, cделайте его из $N \!{\times} 64$--мерного $N \!{\times} 2$--мерным. Постройте двумерный \path{scatter_plot}, окрасьте точки, соответствующие разным цифрам, в разные цвета.
|
|||
|
|
\end{itemize}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\end{enumerate}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\bibliography{library.bib}
|
|||
|
|
\end{document}
|