translation of the 2nd task
This commit is contained in:
parent
8eec9e65b2
commit
4f5c0b136a
5
.gitignore
vendored
5
.gitignore
vendored
@ -1 +1,4 @@
|
||||
.idea/
|
||||
.idea/
|
||||
**/tex/**
|
||||
!**/tex/*.tex
|
||||
!**/tex/library.bib
|
||||
BIN
Assignment_2_ru.pdf
Normal file
BIN
Assignment_2_ru.pdf
Normal file
Binary file not shown.
112
Task 2/tex/Assignment_2_eng.tex
Normal file
112
Task 2/tex/Assignment_2_eng.tex
Normal file
@ -0,0 +1,112 @@
|
||||
\documentclass[prb, notitlepage, aps, 10pt]{revtex4-2}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{graphicx,amsmath}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage{nicefrac}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{comment}
|
||||
\usepackage{bm}
|
||||
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\hypersetup{
|
||||
colorlinks=true,
|
||||
linkcolor=blue,
|
||||
filecolor=magenta,
|
||||
urlcolor=cyan,
|
||||
pdfpagemode=FullScreen,
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\title{\texorpdfstring{Numerical Methods, Fall 2022\\ Assignment 2 [SVD decomposition with applications] \\ Total: 40, Deadline: 21 Oct}{}}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\section*{Suggested Reading}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Lectures 4-5 of \cite{trefethen1997numerical}
|
||||
\item Lecture 2 of \cite{tyrtyshnikov2012brief}
|
||||
\item \href{https://stats.stackexchange.com/questions/2691/making-sense-of-principal-component-analysis-eigenvectors-eigenvalues}{Making sense of principal component analysis, eigenvectors and eigenvalues}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\section*{Exercises}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{comment}
|
||||
\item (5) Construct (manually) SVD decomposition of the following matrices:
|
||||
$$
|
||||
(a)\quad\begin{bmatrix}
|
||||
3 & 0\\
|
||||
0 & -2
|
||||
\end{bmatrix},\quad
|
||||
(b)\quad\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 2\\
|
||||
0 & 0\\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{bmatrix},\quad
|
||||
(c)\quad\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 1\\
|
||||
1 & 1
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
$$
|
||||
For the case (b), construct both full and reduced SVD decomposition via \texttt{np.linalg.svd}.
|
||||
\end{comment}
|
||||
|
||||
\item (10) In this exercise, we will explore three main algorithms available in scientific \lstinline{python} distributions for computation of SVD: \lstinline{numpy.linalg.svd}, \lstinline{scipy.sparse.linalg.svds} and \lstinline{sklearn.utils.extmath.randomized_svd}. To this end:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Construct a random $n\times n$ matrix $A$ (with iid elements sampled from standard normal distribution); consider $n=2000$.
|
||||
\item Using these implementations, construct rank-2 approximations to $A$. You will thus obtain three rank-2 matrices $A_\textrm{svd}$, $A_\textrm{svds}$ and $A_\textrm{rsvd}$. Measure the run--time of these three algorithms for the given task.
|
||||
\item Compute the error norms: $\Vert A-A_\textrm{svd}\Vert_F$, $\Vert A-A_\textrm{svds}\Vert_F$, $\Vert A-A_\textrm{rsvd}\Vert_F$. Explain the result.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item (5) Let $A$ be $m\times n$ with SVD $A = U\Sigma V^T$. Compute SVDs of the following matrices in terms of $U$, $\Sigma$ and $V$: (i) $\left(A^T A\right)^{-1}$, (ii) $\left(A^T A\right)^{-1}A^T$, (iii) $A\left(A^T A\right)^{-1}$, (iv) $A\left(A^T A\right)^{-1}A^T$.
|
||||
|
||||
\item (10) Consider the matrix:
|
||||
$$
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-2 & 11\\
|
||||
-10 & 5
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item List the singular values, left singular vectors and right singular vectors of $A$. The SVD is not unique, so find the one that has the minimal number of minus signs in $U$ and $V$.
|
||||
\item Draw a labeled picture of the unit ball in $\mathbb{R}^2$ and its image under $A$, together with the singular vectors with the coordinates of their vertices marked.
|
||||
\item What are $2$-norm and Frobenius norm of $A$?
|
||||
\item Find $A^{-1}$ not directly, but via SVD.
|
||||
\item Find the eigenvalues $\lambda_1, \lambda_2$ of $A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item (5) The file \path{A.npy} contains the $n\times n$ matrix $A$. Determine the best approximation of $A_{ij}$ in terms of the following anzats, where the variables are separated: $A_{ij}\approx h_i\eta_j$. What is the related relative error of such approximation:
|
||||
$$
|
||||
\delta_{\textrm{err}}=\frac{\sqrt{\sum_{ij}\left(A_{ij}-h_i\eta_j\right)^2}}{\sqrt{\sum_{ij}A_{ij}^2}}?
|
||||
$$
|
||||
How many terms $K$ would an exact representation of the following form:
|
||||
$$
|
||||
A_{ij}=\sum_{\alpha=1}^K h_{\alpha i}\eta_{\alpha j}
|
||||
$$
|
||||
require?
|
||||
\item (10) In this exercise, you will explore application of SVD to dimensionality reduction. Let us start with loading the dataset:
|
||||
\lstset{language=Python}
|
||||
\lstset{frame=lines}
|
||||
\lstset{label={lst:code_direct}}
|
||||
\lstset{basicstyle=\ttfamily}
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
from sklearn.datasets import load_digits
|
||||
digits = load_digits()
|
||||
A = digits.data
|
||||
y = digits.target
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
so that rows of A contain monochromatic images of digits (64 float values which should be reshaped into $8\times 8$ images) and $y$ contains the digit labels.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Inspect the dataset: plot examples of images, corresponding to several digits (say $0, 3, 7$).
|
||||
\item Normalize the dataset $A$.
|
||||
\item Use SVD to project the dataset $A$ from $64$ dimensions to $2$ dimensions. Show the colored scatter plot, where colors encode the digits.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\bibliography{library.bib}
|
||||
\end{document}
|
||||
150
Task 2/tex/Assignment_2_ru.tex
Normal file
150
Task 2/tex/Assignment_2_ru.tex
Normal file
@ -0,0 +1,150 @@
|
||||
\documentclass[prb, notitlepage, aps, 11pt]{revtex4-2}%
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||||
\usepackage[english, russian]{babel}
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{graphicx,amsmath}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage{nicefrac}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{comment}
|
||||
\usepackage{bm}
|
||||
\usepackage{delimset}
|
||||
\usepackage[pdftitle = a]{hyperref}
|
||||
\usepackage{datetime}
|
||||
\hypersetup{
|
||||
colorlinks=true,
|
||||
linkcolor=blue,
|
||||
filecolor=magenta,
|
||||
urlcolor=cyan,
|
||||
pdfpagemode=FullScreen,
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
% \begin{center}
|
||||
% версия от \today \quad \currenttime
|
||||
% \end{center}
|
||||
|
||||
\title{\texorpdfstring{
|
||||
Численные методы, осень 2022\\
|
||||
Задание 2 [SVD-разложение и его применения] \\
|
||||
Всего баллов: 40 \ Срок сдачи: 21 октября
|
||||
}{}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\section*{Рекомендованная литература}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Лекции 4-5 из \cite{trefethen1997numerical}
|
||||
\item Лекция 2 из \cite{tyrtyshnikov2012brief}
|
||||
\item \href{https://stats.stackexchange.com/questions/2691/making-sense-of-principal-component-analysis-eigenvectors-eigenvalues}{StackExchange: в чём смысл собственных векторов, собственных чисел и анализа главных компонент}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\section*{Упражнения}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{comment}
|
||||
\item (5) Construct (manually) SVD decomposition of the following matrices:
|
||||
$$
|
||||
(a)\quad\begin{bmatrix}
|
||||
3 & 0\\
|
||||
0 & -2
|
||||
\end{bmatrix},\quad
|
||||
(b)\quad\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 2\\
|
||||
0 & 0\\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{bmatrix},\quad
|
||||
(c)\quad\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 1\\
|
||||
1 & 1
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
$$
|
||||
For the case (b), construct both full and reduced SVD decomposition via \path{np.linalg.svd}.
|
||||
\end{comment}
|
||||
|
||||
\item (10) В этом упражнении мы познакомимся с
|
||||
тремя основными алгоритмами вычисления сингулярного разложения, доступными в Python: \path{numpy.linalg.svd}, \path{scipy.sparse.linalg.svds} и \path{sklearn.utils.extmath.randomized_svd}.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Создайте матрицу $A$ размера $n\times n \ (n=2000)$ со случайными элементами из стандартного нормального распределения.
|
||||
|
||||
\item С помощью этих трёх алгоритмов (и теоремы Эккарта-Янга?) аппроксимируйте матрицу $A$ матрицами ранга 2.
|
||||
Вы получите матрицы $A_\text{svd}$, $A_\text{svds}$ и $A_\text{rsvd}$. Измерьте времена выполнения.
|
||||
|
||||
\item Вычислите нормы отклонений: $\norm{A-A_\text{svd}}_F \quad \norm{A-A_\text{svds}}_F \quad \norm{ A - A_\textrm{rsvd}}_F$\\ Объясните результат.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item (5) Пусть матрица $A$ размером $m\times n$ имеет сингулярное разложение $A = U\Sigma V^T$.
|
||||
Выразите через $U$, $\Sigma$ и $V$ сингулярные разложения следующих матриц:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\item $\left(A^T A\right)^{-1}$
|
||||
\item $\left(A^T A\right)^{-1}A^T$
|
||||
\item $A\left(A^T A\right)^{-1}$
|
||||
\item $A\left(A^T A\right)^{-1}A^T$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item (10) Рассмотрим матрицу:
|
||||
$$
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-2 & 11\\
|
||||
-10 & 5
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Выпишите сингулярные числа, а также левые и правые сингулярные векторы матрицы $A$. Так как SVD-разложение не единственно, найдите то разложение, в котором матрицы $U$ и $V$ имеют наименьшее количество отрицательных элементов.
|
||||
|
||||
\item Нарисуйте единичный круг и его образ под действием оператора $A$. Изобразите сингулярные векторы и отметьте их координаты.
|
||||
|
||||
\item Чему равна спектральная норма и норма Фробениуса матрицы $A$?
|
||||
|
||||
\item Найдите $A^{-1}$ с помощью SVD-разложения.
|
||||
|
||||
\item Найдите собственные числа $\lambda_1$ и $ \lambda_2$ матрицы $A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\item (5) В файле \path{A.npy} находится матрица $A$ размера $n\times n$. Определите наилучшее приближение следующего вида, в котором переменные разделяются: $A_{ij} \approx h_i\eta_j$. Чему равна относительная ошибка такой аппроксимации?
|
||||
$$
|
||||
\delta_{\textrm{err}}=\frac{\sqrt{\sum_{ij}\left(A_{ij}-h_i\eta_j\right)^2}}{\sqrt{\sum_{ij}A_{ij}^2}}
|
||||
$$
|
||||
Сколько понадобится слагаемых, чтобы приближение стало точным?
|
||||
$$
|
||||
A_{ij} = \sum_{\alpha=1}^K h_{\alpha i}\eta_{\alpha j}
|
||||
\qquad
|
||||
K = {} ?
|
||||
$$
|
||||
|
||||
\item (10) В этом упражнении мы применим SVD-разложение к задаче уменьшения размерности. Начнём с загрузки датасета:
|
||||
|
||||
\lstset{language=Python}
|
||||
\lstset{frame=lines}
|
||||
\lstset{label={lst:code_direct}}
|
||||
\lstset{basicstyle=\ttfamily}
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
from sklearn.datasets import load_digits
|
||||
digits = load_digits()
|
||||
A = digits.data
|
||||
y = digits.target
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Каждая строка массива \path{A} состоит из 64 чисел с плавающей точкой, которые задают черно-белое изображение $8 \times 8$. Это изображение цифры. Сами цифры (метки данных) указаны в массиве \path{y}.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Изучите датасет. Постройте изображения нескольких цифр, например, 0, 3, 7
|
||||
|
||||
\item Отнормируйте датасет \path{A}.
|
||||
|
||||
\item С помощью SVD-разложения спроецируйте датасет, cделайте его из $N \!{\times} 64$--мерного $N \!{\times} 2$--мерным. Постройте двумерный \path{scatter_plot}, окрасьте точки, соответствующие разным цифрам, в разные цвета.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\bibliography{library.bib}
|
||||
\end{document}
|
||||
17
Task 2/tex/library.bib
Normal file
17
Task 2/tex/library.bib
Normal file
@ -0,0 +1,17 @@
|
||||
@book{trefethen1997numerical,
|
||||
title={Numerical Linear Algebra},
|
||||
author={Trefethen, L.N. and Bau, D.},
|
||||
isbn={9780898719574},
|
||||
series={Other Titles in Applied Mathematics},
|
||||
year={1997},
|
||||
publisher={SIAM}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{tyrtyshnikov2012brief,
|
||||
title={A Brief Introduction to Numerical Analysis},
|
||||
author={Tyrtyshnikov, E.E.},
|
||||
isbn={9780817681364},
|
||||
lccn={97000301},
|
||||
year={2012},
|
||||
publisher={Birkh{\"a}user Boston}
|
||||
}
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user