translation of the 2nd task

.gitignore

@@ -1 +1,4 @@
-.idea/
+.idea/
+**/tex/**
+!**/tex/*.tex
+!**/tex/library.bib

Task 2/tex/Assignment_2_eng.tex

@@ -0,0 +1,112 @@
+\documentclass[prb, notitlepage, aps, 10pt]{revtex4-2}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{graphicx,amsmath}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{nicefrac}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{comment}
+\usepackage{bm}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
+\usepackage{hyperref}
+\hypersetup{
+    colorlinks=true,
+    linkcolor=blue,
+    filecolor=magenta,
+    urlcolor=cyan,
+    pdfpagemode=FullScreen,
+}
+
+\begin{document}
+
+\title{\texorpdfstring{Numerical Methods, Fall 2022\\ Assignment 2 [SVD decomposition with applications] \\ Total: 40, Deadline: 21 Oct}{}}
+
+\maketitle
+
+\section*{Suggested Reading}
+
+\begin{itemize}
+\item Lectures 4-5 of \cite{trefethen1997numerical}
+\item Lecture 2 of \cite{tyrtyshnikov2012brief}
+\item \href{https://stats.stackexchange.com/questions/2691/making-sense-of-principal-component-analysis-eigenvectors-eigenvalues}{Making sense of principal component analysis, eigenvectors and eigenvalues}
+\end{itemize}
+
+\section*{Exercises}
+
+\begin{enumerate}
+
+\begin{comment}
+\item (5) Construct (manually) SVD decomposition of the following matrices:
+$$
+(a)\quad\begin{bmatrix}
+3 & 0\\
+0 & -2
+\end{bmatrix},\quad
+(b)\quad\begin{bmatrix}
+0 & 2\\
+0 & 0\\
+0 & 0
+\end{bmatrix},\quad
+(c)\quad\begin{bmatrix}
+1 & 1\\
+1 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+For the case (b), construct both full and reduced SVD decomposition via \texttt{np.linalg.svd}. 
+\end{comment}
+
+\item (10) In this exercise, we will explore three main algorithms available in scientific \lstinline{python} distributions for computation of SVD: \lstinline{numpy.linalg.svd}, \lstinline{scipy.sparse.linalg.svds} and \lstinline{sklearn.utils.extmath.randomized_svd}. To this end:
+\begin{itemize}
+    \item Construct a random $n\times n$ matrix $A$ (with iid elements sampled from standard normal distribution); consider $n=2000$.
+    \item Using these implementations, construct rank-2 approximations to $A$. You will thus obtain three rank-2 matrices $A_\textrm{svd}$, $A_\textrm{svds}$ and $A_\textrm{rsvd}$. Measure the run--time of these three algorithms for the given task.
+    \item Compute the error norms: $\Vert A-A_\textrm{svd}\Vert_F$, $\Vert A-A_\textrm{svds}\Vert_F$, $\Vert A-A_\textrm{rsvd}\Vert_F$. Explain the result.
+\end{itemize} 
+\item (5) Let $A$ be $m\times n$ with SVD $A = U\Sigma V^T$. Compute SVDs of the following matrices in terms of $U$, $\Sigma$ and $V$: (i) $\left(A^T A\right)^{-1}$, (ii)  $\left(A^T A\right)^{-1}A^T$, (iii) $A\left(A^T A\right)^{-1}$, (iv) $A\left(A^T A\right)^{-1}A^T$.
+
+\item (10) Consider the matrix:
+$$
+\begin{bmatrix}
+-2 & 11\\
+-10 & 5
+\end{bmatrix}
+$$
+\begin{itemize}
+    \item List the singular values, left singular vectors and right singular vectors of $A$. The SVD is not unique, so find the one that has the minimal number of minus signs in $U$ and $V$. 
+    \item Draw a labeled picture of the unit ball in $\mathbb{R}^2$ and its image under $A$, together with the singular vectors with the coordinates of their vertices marked.
+    \item What are $2$-norm and Frobenius norm of $A$?
+    \item Find $A^{-1}$ not directly, but via SVD.
+    \item Find the eigenvalues $\lambda_1, \lambda_2$ of $A$.
+\end{itemize}
+\item (5) The file \path{A.npy} contains the $n\times n$ matrix $A$. Determine the best approximation of $A_{ij}$ in terms of the following anzats, where the variables are separated: $A_{ij}\approx h_i\eta_j$. What is the related relative error of such approximation:
+$$
+\delta_{\textrm{err}}=\frac{\sqrt{\sum_{ij}\left(A_{ij}-h_i\eta_j\right)^2}}{\sqrt{\sum_{ij}A_{ij}^2}}?
+$$
+How many terms $K$ would an exact representation of the following form:
+$$
+A_{ij}=\sum_{\alpha=1}^K h_{\alpha i}\eta_{\alpha j}
+$$
+require?
+\item (10) In this exercise, you will explore application of SVD to dimensionality reduction. Let us start with loading the dataset:
+\lstset{language=Python}
+\lstset{frame=lines}
+\lstset{label={lst:code_direct}}
+\lstset{basicstyle=\ttfamily}
+\begin{lstlisting}
+from sklearn.datasets import load_digits
+digits = load_digits()
+A = digits.data
+y = digits.target
+\end{lstlisting}
+\end{enumerate}
+so that rows of A contain monochromatic images of digits (64 float values which should be reshaped into $8\times 8$ images) and $y$ contains the digit labels.
+\begin{itemize}
+\item Inspect the dataset: plot examples of images, corresponding to several digits (say $0, 3, 7$).
+\item Normalize the dataset $A$.
+\item Use SVD to project the dataset $A$ from $64$ dimensions to $2$ dimensions. Show the colored scatter plot, where colors encode the digits.
+\end{itemize}
+
+\bibliography{library.bib}
+\end{document}

Task 2/tex/Assignment_2_ru.tex

@@ -0,0 +1,150 @@
+\documentclass[prb, notitlepage, aps, 11pt]{revtex4-2}%
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[english, russian]{babel}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{graphicx,amsmath}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{nicefrac}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{comment}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{delimset}
+\usepackage[pdftitle = a]{hyperref}
+\usepackage{datetime}
+\hypersetup{
+    colorlinks=true,
+    linkcolor=blue,
+    filecolor=magenta,
+    urlcolor=cyan,
+    pdfpagemode=FullScreen,
+}
+
+\begin{document}
+
+% \begin{center}
+%     версия от \today \quad \currenttime
+% \end{center}
+
+\title{\texorpdfstring{
+    Численные методы, осень 2022\\
+    Задание 2 [SVD-разложение и его применения] \\
+    Всего баллов: 40 \ Срок сдачи: 21 октября
+    }{}
+}
+
+\maketitle
+
+\section*{Рекомендованная литература}
+
+\begin{itemize}
+\item Лекции 4-5 из \cite{trefethen1997numerical}
+\item Лекция 2 из \cite{tyrtyshnikov2012brief}
+\item \href{https://stats.stackexchange.com/questions/2691/making-sense-of-principal-component-analysis-eigenvectors-eigenvalues}{StackExchange: в чём смысл собственных векторов, собственных чисел и анализа главных компонент}
+\end{itemize}
+
+\section*{Упражнения}
+
+\begin{enumerate}
+
+\begin{comment}
+\item (5) Construct (manually) SVD decomposition of the following matrices:
+$$
+(a)\quad\begin{bmatrix}
+3 & 0\\
+0 & -2
+\end{bmatrix},\quad
+(b)\quad\begin{bmatrix}
+0 & 2\\
+0 & 0\\
+0 & 0
+\end{bmatrix},\quad
+(c)\quad\begin{bmatrix}
+1 & 1\\
+1 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+For the case (b), construct both full and reduced SVD decomposition via \path{np.linalg.svd}. 
+\end{comment}
+
+\item (10) В этом упражнении мы познакомимся с 
+тремя основными алгоритмами вычисления сингулярного разложения, доступными в Python: \path{numpy.linalg.svd}, \path{scipy.sparse.linalg.svds} и \path{sklearn.utils.extmath.randomized_svd}.
+
+\begin{itemize}
+    \item Создайте матрицу $A$ размера $n\times n \ (n=2000)$ со случайными элементами из стандартного нормального распределения.
+    
+    \item С помощью этих трёх алгоритмов (и теоремы Эккарта-Янга?) аппроксимируйте матрицу $A$ матрицами ранга 2.
+    Вы получите матрицы $A_\text{svd}$, $A_\text{svds}$ и $A_\text{rsvd}$. Измерьте времена выполнения.
+
+    \item Вычислите нормы отклонений: $\norm{A-A_\text{svd}}_F \quad \norm{A-A_\text{svds}}_F \quad \norm{ A - A_\textrm{rsvd}}_F$\\ Объясните результат.
+\end{itemize} 
+\item (5) Пусть матрица $A$ размером $m\times n$ имеет сингулярное разложение $A = U\Sigma V^T$.
+Выразите через $U$, $\Sigma$ и $V$ сингулярные разложения следующих матриц:
+\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+    \item $\left(A^T A\right)^{-1}$
+    \item $\left(A^T A\right)^{-1}A^T$
+    \item $A\left(A^T A\right)^{-1}$
+    \item $A\left(A^T A\right)^{-1}A^T$
+\end{enumerate}
+
+\item (10) Рассмотрим матрицу:
+$$
+\begin{bmatrix}
+-2 & 11\\
+-10 & 5
+\end{bmatrix}
+$$
+\begin{itemize}
+    \item Выпишите сингулярные числа, а также левые и правые сингулярные векторы матрицы $A$. Так как SVD-разложение не единственно, найдите то разложение, в котором матрицы $U$ и $V$ имеют наименьшее количество отрицательных элементов.
+
+    \item Нарисуйте единичный круг и его образ под действием оператора $A$. Изобразите сингулярные векторы и отметьте их координаты.
+
+    \item Чему равна спектральная норма и норма Фробениуса матрицы $A$?
+
+    \item Найдите $A^{-1}$ с помощью SVD-разложения.
+
+    \item Найдите собственные числа $\lambda_1$ и $ \lambda_2$ матрицы $A$.
+\end{itemize}
+
+\item (5) В файле \path{A.npy} находится матрица $A$ размера $n\times n$. Определите наилучшее приближение следующего вида, в котором переменные разделяются: $A_{ij} \approx h_i\eta_j$. Чему равна относительная ошибка такой аппроксимации?
+$$
+\delta_{\textrm{err}}=\frac{\sqrt{\sum_{ij}\left(A_{ij}-h_i\eta_j\right)^2}}{\sqrt{\sum_{ij}A_{ij}^2}}
+$$
+Сколько понадобится слагаемых, чтобы приближение стало точным?
+$$
+A_{ij} = \sum_{\alpha=1}^K h_{\alpha i}\eta_{\alpha j}
+\qquad
+K = {} ?
+$$
+
+\item (10) В этом упражнении мы применим SVD-разложение к задаче уменьшения размерности. Начнём с загрузки датасета:
+
+\lstset{language=Python}
+\lstset{frame=lines}
+\lstset{label={lst:code_direct}}
+\lstset{basicstyle=\ttfamily}
+
+\begin{lstlisting}
+    from sklearn.datasets import load_digits
+    digits = load_digits()
+    A = digits.data
+    y = digits.target
+\end{lstlisting}
+
+Каждая строка массива \path{A} состоит из 64 чисел с плавающей точкой, которые задают черно-белое изображение $8 \times 8$. Это изображение цифры. Сами цифры (метки данных) указаны в массиве \path{y}.
+
+\begin{itemize}
+    \item Изучите датасет. Постройте изображения нескольких цифр, например, 0, 3, 7
+
+    \item Отнормируйте датасет \path{A}.
+
+    \item С помощью SVD-разложения спроецируйте датасет, cделайте его из $N \!{\times} 64$--мерного $N \!{\times} 2$--мерным. Постройте двумерный \path{scatter_plot}, окрасьте точки, соответствующие разным цифрам, в разные цвета.
+\end{itemize}
+
+\end{enumerate}
+
+\bibliography{library.bib}
+\end{document}

Task 2/tex/library.bib

@@ -0,0 +1,17 @@
+@book{trefethen1997numerical,
+  title={Numerical Linear Algebra},
+  author={Trefethen, L.N. and Bau, D.},
+  isbn={9780898719574},
+  series={Other Titles in Applied Mathematics},
+  year={1997},
+  publisher={SIAM}
+}
+
+@book{tyrtyshnikov2012brief,
+  title={A Brief Introduction to Numerical Analysis},
+  author={Tyrtyshnikov, E.E.},
+  isbn={9780817681364},
+  lccn={97000301},
+  year={2012},
+  publisher={Birkh{\"a}user Boston}
+}