numerics-2022/Task 4/tex/Assignment_4_ru.tex

\documentclass[prb, notitlepage, aps, 11pt]{revtex4-2}%
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{delimset}
\usepackage[pdftitle = a]{hyperref}
\usepackage{datetime}
\usepackage{minted}
\usemintedstyle{friendly}
\usepackage[a]{esvect}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=blue,
    filecolor=magenta,
    urlcolor=cyan,
    pdfpagemode=FullScreen,
}
\usepackage{microtype}

\newcommand{\framesep}{0.6em}
\BeforeBeginEnvironment{minted}{\vspace{-1.6em}}
\AfterEndEnvironment{minted}{\vspace{-0.5em}}

\begin{document}

\begin{center}
    версия от \today \quad \currenttime
\end{center}

\title{\texorpdfstring{
    Численные методы, осень 2022\\
    Задание 4 [Число обусловленности. Числа с плавающей точкой и вычислительная устойчивость] \\
    Всего баллов: 37 \ Срок сдачи: 18 ноября
    }{}
}

\maketitle

\section*{Рекомендованная литература}

\begin{itemize}
\item Лекции 12--19, 20--23 из \cite{trefethen1997numerical}
\item Лекции 6--7 из \cite{tyrtyshnikov2012brief}
\end{itemize}

\section*{Упражнения}

\begin{enumerate}

\item (3) Предложите вычислительно устойчивый способ вычислить функцию
$f(x,a)=\sqrt{x+a}-\sqrt{x}$ 
при положительных $x$ и $a$.

\item (2) Вычислите $\mathcal{C}=\tan(10^{100})$ с помощью модуля \mintinline{python}{mpmath}, предназначенного для арифметики произвольной точности. Пример использования:
%
\begin{minted}[frame = lines, framesep = \framesep]{python}
    from mpmath import *
    mp.dps = 64       # точность (число десятичных цифр)
    mp.pretty = True
    +pi               # pi — переменная из mpmath
\end{minted}
%
Чему равно относительное число обусловленности при вычислении $\mathcal{C} = \mathcal{C}(10^{100})$? Сколько цифр нужно хранить в памяти при промежуточных вычислениях, чтобы получить $\mathcal{C}$ с~точностью в 7 значащих цифр?

\item (4) Реализуйте функцию \mintinline{python}{solve_quad(b, c)}, возвращающую корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + b x + c = 0$. Корни могут повторяться или быть комплексными.

Когда вам покажется, что функция работает, запустите её на следующих пяти тестах. Добейтесь того, чтобы она правильно работала на каждом из них.
%
\begin{minted}[frame = lines, framesep = \framesep]{python}
   tests = [{'b': 4.0,   'c': 3.0},
            {'b': 2.0,   'c': 1.0},
            {'b': 0.5,   'c': 4.0},
            {'b': 1e10,  'c': 3.0},
            {'b': -1e10, 'c': 4.0}]
\end{minted}

\item (5) Рассмотрите многочлен
$$
w(x) = \prod_{r=1}^{20} (x-r) = \sum_{i=0}^{20} a_i x^i
$$
и исследуйте число обусловленности его корней, выступающих в роли функций от коэффициентов $a_i$. Проведите эксперимент: случайным образом измените коэффициенты и найдите новые корни с помощью алгоритма из \texttt{numpy}.
Коэффициенты изменяйте по правилу $a_i \to n_i a_i$, где $n_i$ подчиняются нормальному распределению с математическим ожиданием, равным 1, и дисперсией, равной $\exp(-10)$. Проведите 100 таких экспериментов и изобразите результаты на одном графике вместе с корнями исходного многочлена.

Оцените по одному из экспериментов абсолютное и относительное число обусловленности корней многочлена как функций его коэффициентов.

\item (10) 
Рассмотрим задачу наименьших квадратов --- $Ax\approx b$:
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1.00001\\
1 & 1.00001
\end{bmatrix},\quad b = \begin{bmatrix}
2 \\
0.00001 \\
4.00001 
\end{bmatrix}
$$

\begin{itemize}
    \item Формально решение можно найти как
    %
    \begin{equation}
    \label{ex}
    x = ( A^T A )^{-1} A^T b.
    \end{equation} 
    %
    Вычислите его по этой формуле аналитически.

    \item Вычислите (\ref{ex}) с помощью
    \mintinline{python}{numpy}, используя числа одинарной и двойной точности; сравните результат c аналитическим.

    \item Помимо формулы (\ref{ex}), реализуйте решение, основанное на сингулярном разложении. Какой способ вычислительно более стабильный?

    \item Решите эту же задачу с помощью \mintinline{python}{np.linalg.lstsq}. Какой алгоритм использует эта функция?

    \item Какие четыре числа обусловленности, относящиеся к этой задаче, упоминаются в теореме 18.1 из~\cite{trefethen1997numerical}? (Возможно, их требуется вычислить --- прим. пер.).
    Приведите примеры таких $\delta b$ и $\delta A$, при которых приблизительно достигаются оценки на $\norm{\delta x}$, даваемые числами обусловленности.
\end{itemize}

\item (7) 
Пусть
$$
A = \begin{bmatrix}
 \epsilon & 1 & 0\\
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
\begin{itemize}
    \item Аналитически найдите LU-разложение матрицы $A$ с применением выбора главного элемента и без него.
    \item Объясните, почему при $|\epsilon|\ll 1$ мы можем неправильно оценить множители $L$ и $U$ в арифметике конечной точности.
\end{itemize}

\item (6) Пусть функция $f(n, \alpha)$ определена следующим образом:
%
\begin{align*}
    f(n,\alpha) &= \frac{1}{n} - \alpha f(n-1,\alpha) \\
    f(0,\alpha) &= \ln(1+1/\alpha)
\end{align*}
%
Вычислите $f(20, 0.1)$ и $f(20, 10)$ с помощью арифметики обычной (двойной) точности. Теперь сделайте то же самое в арифметике произвольной точности:
%
\begin{minted}[frame = lines, framesep = \framesep]{python}
    from mpmath import mp, mpf
    mp.dps = 64 # precision (in decimal places)
    f = mp.zeros(1, n)
    f[0] = mp.log(1 + 1/mpf(alpha))
    for i in range(1, n):
        f[i] = 1/mpf(i) - mpf(alpha) * f[i-1]
\end{minted}
%
Постройте в единицах машинного эпсилон график относительной разности между точными и приближёнными результатами как функции от $n$. Сделайте это при $\alpha=0.1$ и при $\alpha=10$. Машинный эпсилон можно получить как \mintinline{python}{np.finfo(float).eps}. \\
Как бы вы стали вычислять $f(30, 10)$ без арифметики произвольной точности?

\end{enumerate}

\bibliography{library.bib}
\end{document}