163 lines
8.0 KiB
TeX
163 lines
8.0 KiB
TeX
\documentclass[prb, notitlepage, aps, 11pt]{revtex4-2}%
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[english, russian]{babel}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{enumitem}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{delimset}
|
||
\usepackage[pdftitle = a]{hyperref}
|
||
\usepackage{datetime}
|
||
\usepackage{minted}
|
||
\usemintedstyle{friendly}
|
||
\usepackage[a]{esvect}
|
||
\hypersetup{
|
||
colorlinks=true,
|
||
linkcolor=blue,
|
||
filecolor=magenta,
|
||
urlcolor=cyan,
|
||
pdfpagemode=FullScreen,
|
||
}
|
||
\usepackage{microtype}
|
||
|
||
\newcommand{\framesep}{0.6em}
|
||
\BeforeBeginEnvironment{minted}{\vspace{-1.6em}}
|
||
\AfterEndEnvironment{minted}{\vspace{-0.5em}}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
версия от \today \quad \currenttime
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\title{\texorpdfstring{
|
||
Численные методы, осень 2022\\
|
||
Задание 4 [Число обусловленности. Числа с плавающей точкой и вычислительная устойчивость] \\
|
||
Всего баллов: 37 \ Срок сдачи: 18 ноября
|
||
}{}
|
||
}
|
||
|
||
\maketitle
|
||
|
||
\section*{Рекомендованная литература}
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Лекции 12--19, 20--23 из \cite{trefethen1997numerical}
|
||
\item Лекции 6--7 из \cite{tyrtyshnikov2012brief}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\section*{Упражнения}
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
|
||
\item (3) Предложите вычислительно устойчивый способ вычислить функцию
|
||
$f(x,a)=\sqrt{x+a}-\sqrt{x}$
|
||
при положительных $x$ и $a$.
|
||
|
||
\item (2) Вычислите $\mathcal{C}=\tan(10^{100})$ с помощью модуля \mintinline{python}{mpmath}, предназначенного для арифметики произвольной точности. Пример использования:
|
||
%
|
||
\begin{minted}[frame = lines, framesep = \framesep]{python}
|
||
from mpmath import *
|
||
mp.dps = 64 # точность (число десятичных цифр)
|
||
mp.pretty = True
|
||
+pi # pi — переменная из mpmath
|
||
\end{minted}
|
||
%
|
||
Чему равно относительное число обусловленности при вычислении $\mathcal{C} = \mathcal{C}(10^{100})$? Сколько цифр нужно хранить в памяти при промежуточных вычислениях, чтобы получить $\mathcal{C}$ с~точностью в 7 значащих цифр?
|
||
|
||
\item (4) Реализуйте функцию \mintinline{python}{solve_quad(b, c)}, возвращающую корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + b x + c = 0$. Корни могут повторяться или быть комплексными.
|
||
|
||
Когда вам покажется, что функция работает, запустите её на следующих пяти тестах. Добейтесь того, чтобы она правильно работала на каждом из них.
|
||
%
|
||
\begin{minted}[frame = lines, framesep = \framesep]{python}
|
||
tests = [{'b': 4.0, 'c': 3.0},
|
||
{'b': 2.0, 'c': 1.0},
|
||
{'b': 0.5, 'c': 4.0},
|
||
{'b': 1e10, 'c': 3.0},
|
||
{'b': -1e10, 'c': 4.0}]
|
||
\end{minted}
|
||
|
||
\item (5) Рассмотрите многочлен
|
||
$$
|
||
w(x) = \prod_{r=1}^{20} (x-r) = \sum_{i=0}^{20} a_i x^i
|
||
$$
|
||
и исследуйте число обусловленности его корней, выступающих в роли функций от коэффициентов $a_i$. Проведите эксперимент: случайным образом измените коэффициенты и найдите новые корни с помощью алгоритма из \texttt{numpy}.
|
||
Коэффициенты изменяйте по правилу $a_i \to n_i a_i$, где $n_i$ подчиняются нормальному распределению с математическим ожиданием, равным 1, и дисперсией, равной $\exp(-10)$. Проведите 100 таких экспериментов и изобразите результаты на одном графике вместе с корнями исходного многочлена.
|
||
|
||
Оцените по одному из экспериментов абсолютное и относительное число обусловленности корней многочлена как функций его коэффициентов.
|
||
|
||
\item (10)
|
||
Рассмотрим задачу наименьших квадратов --- $Ax\approx b$:
|
||
$$
|
||
A = \begin{bmatrix}
|
||
1 & 1\\
|
||
1 & 1.00001\\
|
||
1 & 1.00001
|
||
\end{bmatrix},\quad b = \begin{bmatrix}
|
||
2 \\
|
||
0.00001 \\
|
||
4.00001
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Формально решение можно найти как
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{ex}
|
||
x = ( A^T A )^{-1} A^T b.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
Вычислите его по этой формуле аналитически.
|
||
|
||
\item Вычислите (\ref{ex}) с помощью
|
||
\mintinline{python}{numpy}, используя числа одинарной и двойной точности; сравните результат c аналитическим.
|
||
|
||
\item Помимо формулы (\ref{ex}), реализуйте решение, основанное на сингулярном разложении. Какой способ вычислительно более стабильный?
|
||
|
||
\item Решите эту же задачу с помощью \mintinline{python}{np.linalg.lstsq}. Какой алгоритм использует эта функция?
|
||
|
||
\item Какие четыре числа обусловленности, относящиеся к этой задаче, упоминаются в теореме 18.1 из~\cite{trefethen1997numerical}? (Возможно, их требуется вычислить --- прим. пер.).
|
||
Приведите примеры таких $\delta b$ и $\delta A$, при которых приблизительно достигаются оценки на $\norm{\delta x}$, даваемые числами обусловленности.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item (7)
|
||
Пусть
|
||
$$
|
||
A = \begin{bmatrix}
|
||
\epsilon & 1 & 0\\
|
||
1 & 1 & 1\\
|
||
0 & 1 & 1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Аналитически найдите LU-разложение матрицы $A$ с применением выбора главного элемента и без него.
|
||
\item Объясните, почему при $|\epsilon|\ll 1$ мы можем неправильно оценить множители $L$ и $U$ в арифметике конечной точности.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item (6) Пусть функция $f(n, \alpha)$ определена следующим образом:
|
||
%
|
||
\begin{align*}
|
||
f(n,\alpha) &= \frac{1}{n} - \alpha f(n-1,\alpha) \\
|
||
f(0,\alpha) &= \ln(1+1/\alpha)
|
||
\end{align*}
|
||
%
|
||
Вычислите $f(20, 0.1)$ и $f(20, 10)$ с помощью арифметики обычной (двойной) точности. Теперь сделайте то же самое в арифметике произвольной точности:
|
||
%
|
||
\begin{minted}[frame = lines, framesep = \framesep]{python}
|
||
from mpmath import mp, mpf
|
||
mp.dps = 64 # precision (in decimal places)
|
||
f = mp.zeros(1, n)
|
||
f[0] = mp.log(1 + 1/mpf(alpha))
|
||
for i in range(1, n):
|
||
f[i] = 1/mpf(i) - mpf(alpha) * f[i-1]
|
||
\end{minted}
|
||
%
|
||
Постройте в единицах машинного эпсилон график относительной разности между точными и приближёнными результатами как функции от $n$. Сделайте это при $\alpha=0.1$ и при $\alpha=10$. Машинный эпсилон можно получить как \mintinline{python}{np.finfo(float).eps}. \\
|
||
Как бы вы стали вычислять $f(30, 10)$ без арифметики произвольной точности?
|
||
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\bibliography{library.bib}
|
||
\end{document}
|