{"componentChunkName":"component---src-pages-projects-math-js","path":"/en/projects/math/","result":{"data":{"ru_projects":{"edges":[{"node":{"html":"

Одной из задач, решаемых группой, является популяризация и развитие метода статистической регуляризации, созданного В.Ф. Турчинным в 70-х годах XX века.

\n

Типичной некорректной обратной задачей, возникающей в физике, является уравнение Фредгольма I рода:

\n

f(y) = \\int \\limits_a^b dx K(x,y)\\varphi(x)

\n

Фактически, это уравнение описывает следующее: аппаратная функция прибора $K(x,y)$ действует на иследуемый спектр или иной входной сигнал $\\varphi$ , в результате чего исследователь наблюдает выходной сигнал $f(y)$ . Целью исследователя является востановить сигнал $\\varphi$ по известным $f(y)$ и $K(x,y)$ . Казалось бы, восстановление сигнала не является сложной задачей, поскольку уравнение Фредгольма имеет точное решение. Но уравение Фредгольма некорректно - бесконечно малое изменение начальных условий приводит к конечному изменению решения. Таким образом, наличие шумов, присутствущих в любом эксперименте, обесценивает попытки решить это уравение точно.

\n

Теория

\n

Рассмотрим некую алгебраизацию уравнения Фредгольма:

\n

f_m = K_{mn}\\varphi_n

\n

С точки зрения математической статистики мы должны должны оценить $\\vec{\\varphi}$ по реализации $\\vec{f}$ , зная плотность вероятности для $\\vec{f}$ и содержимое матрицы $K$ . Действуя в духе теории принятия решений, мы должны выбрать вектор-функцию $\\vec{S}$ , определяющую $\\vec{\\varphi}$ на основе $\\vec{f}$ и называемую стратегией. Для того, чтобы определить, какие стратегии более оптимальные, мы введем квадратичную функцию потерь:

\n

L(\\hat{\\varphi},\\vec{S}) = (\\hat{\\varphi}-\\vec{S})^2,

\n

где $\\hat{\\varphi}$ — наилучшее решение. Согласно баейсовскому подходу рассмотрим $\\vec{\\varphi}$ как случайную переменную и переместим нашу неопределенность о $\\vec{\\varphi}$ в априорную плотность $P(\\vec{\\varphi})$ , выражающую достоверность различных возможных законов природы и определяемую на основе информации, сущетсвующей до проведения эксперимента. При таком подходе выбор оптимальной стратегии основывается на минимизации апостериорного риска:

\n

r_{\\vec{S}}(\\vec{\\varphi}) \\equiv E_{\\vec{\\varphi}}E_{\\vec{f}}[L(\\vec{\\varphi},\\vec{S})|\\vec{\\varphi}]

\n

Тогда оптимальная стратегия в случае квадратичной функции потерь хорошо известна:

\n

S^{opt} _n= E[\\varphi_n|\\vec{f}] = \\int \\varphi_n P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})d\\vec{\\varphi}

\n

Апостерионая плотность $P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})$ определяется по\nтеореме Баейса:

\n

P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})= \\frac{P(\\vec{\\varphi})P(\\vec{f}|\\vec{\\varphi})}{\\int d\\vec{\\varphi}P(\\vec{\\varphi})P(\\vec{f}|\\vec{\\varphi})}

\n

Кроме того, такой подход позволяет определить дисперсию полученного решения:

\n

\\left\\langle \\sigma_n^2 \\right\\rangle = \\int (\\varphi_n - S^{opt}_n)^2 P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})d\\vec{\\varphi}

\n

Мы получили решение, введя априорную плотность $P(\\vec{\\varphi})$ . Можем ли мы сказать, что-либо о том мире функций $\\varphi(x)$ , который задается априорной плотностью? Если ответ на этот вопрос отрицательный, то мы должны будем принять все возможные $\\varphi(x)$ равновероятными и вернуться к нерегуляризованному решению. Таким образом, мы должны ответить на этот вопрос положительно. Именно в этом заключается метод статистической регуляризации — регуляризация решения за счет введения дополнительной априорной информации о $\\varphi(x)$ . Если исследователь уже обладает какой-либо априорной информацией (априорной плотностью $P(\\vec{\\varphi})$ ), он может просто вычислить интеграл и получить ответ. В случае, если такой информации нет, в следующем параграфе описывается, какой минимальной информацией может обладать исследователь и как её использовать для получения регулязованного решения.

\n

Априоная информация

\n

Как показали британские ученые, во всем остальном мире любят дифференцировать. Причем, если математик будет задаваться вопросами о правомерности этой операции, то физик оптимистично верит, что законы природы описываются “хорошим” функциями, то есть гладкими. Иначе говоря, он назначает более гладким $\\varphi(x)$ более высокую априорную плотность вероятности. Так давайте попробуем ввести априорную вероятность, основанную на гладкости. Для этого мы вспомним, что введение априорной иформации — это некоторое насилие над миром, принуждающее законы природы выглядеть удобным для нас образом. Это насилие следует свести к минимуму, и, вводя априорную плотность вероятности, необходимо, что бы информация Шеннона относительно $\\varphi(x)$ , содержащаяся в $P(\\vec{\\varphi})$ , была минимальной. Формализуя выше сказанное, выведем вид априорной плотности, основанной на гладкости функции. Для этого мы будем искать условный экстремум информации:

\n

I[P(\\vec{\\varphi})] = \\int \\ln{P(\\vec{\\varphi})} P(\\vec{\\varphi}) d\\vec{\\varphi} \\to min

\n

При следующих условиях:

\n

Условие на гладкость $\\varphi(x)$ . Пусть $\\Omega$ — некоторая матрица, характеризующая гладкость функции. Тогда потребуем, чтобы достигалось определённое значение функционала гладкости:

\n

\\int (\\vec{\\varphi},\\Omega\\vec{\\varphi}) P(\\vec{\\varphi}) d\\vec{\\varphi} = \\omega

\n

Внимательный читатель должен задать вопрос об определении значения параметра $\\omega$ . Ответ на него будет дан далее по тексту.

\n

Нормированность вероятности на единицу:

\n

\\int P(\\vec{\\varphi}) d\\vec{\\varphi} = 1

\n

При этих условиях доставлять минимум функционалу будет следующая функция:

\n

P_{\\alpha}(\\vec{\\varphi}) = \\frac{\\alpha^{Rg(\\Omega)/2}\\det\\Omega^{1/2}}{(2\\pi)^{N/2}} \\exp(-\\frac{1}{2} (\\vec{\\varphi},\\alpha\\Omega\\vec{\\varphi}))

\n

Параметр $\\alpha$ cвязан с $\\omega$ , но поскольку у нас нет собственно информации о конкректных значениях функционала гладкости, выяснять, как именно он связан, бессмысленно. Что же тогда делать с $\\alpha$ , спросите вы? Здесь перед вами расрываются три пути:

\n

подбирать значение параметра $\\alpha$ вручную, и тем самым перейти к регуляризации Тихонова
усреднить по всем возможным $\\alpha$ , предпологая все возможные $\\alpha$ равновероятными
выбрать наиболее вероятное $\\alpha$ по его апостериорной плотности вероятности $P(\\alpha|\\vec{f})$ . Этот подход верен, если мы предполагаем, что в экспериментальных данных содержится достаточно информации об $\\alpha$ .

\n

Первый случай нам мало интересен. Во втором случае мы получим следующую формулу для решения:

\n

\\left\\langle \\varphi_i \\right\\rangle = \\frac{\\int d\\varphi\\, \\varphi_i P(f|\\varphi) \\int\\limits d\\alpha\\,P(\\alpha) \\alpha^{\\frac{Rg(\\Omega)}{2}} \\exp(-\\frac{\\alpha}{2} (\\vec{\\varphi},\\Omega\\vec{\\varphi}))}{\\int d\\varphi P(f|\\varphi) \\int\\limits d\\alpha\\,P(\\alpha) \\alpha^{\\frac{Rg(\\Omega)}{2}} \\exp(-\\frac{\\alpha}{2} (\\vec{\\varphi},\\Omega\\vec{\\varphi}))}

\n

Третий случай будет рассмотрен в следующем разделе на примере гауссовых шумов в эксперименте.

\n

Случай гауссовых шумов

\n

Случай, когда ошибки в эксперименте распределены по Гауссу, замечателен тем, что можно получить аналитическое решение нашей задачи. Решение и его ошибка будут иметь следующий вид:

\n

\\vec{\\varphi} = (K^T\\Sigma^{-1}K +\\alpha^*\\Omega)^{-1}K^T\\Sigma^{-1^{T}}\\vec{f}

\n

\\Sigma_{\\vec{\\varphi}} = (K^T\\Sigma^{-1}K+\\alpha^*\\Omega)^{-1}

\n

где $\\Sigma$ - ковариационная матрица многомерного распределения Гаусса, $\\alpha^*$ - наиболее вероятное значение параметра $\\alpha$ , которое определяется из условия максимума апостериорной плотности вероятности:

\n

P(\\alpha|\\vec{f}) = C39; \\alpha^{\\frac{Rg(\\Omega)}{2}}\\sqrt{|(K^T\\Sigma^{-1}K+\\alpha\\Omega)^{-1}|}\\exp(\\frac{1}{2} \\vec{f}^T\\Sigma^{-1}K^{T}(K^T\\Sigma^{-1}K+\\alpha\\Omega)^{-1}K^T\\Sigma^{-1^{T}}\\vec{f})

\n

В качестве примера рассмотрим востановление спектра, состоящего из двух гауссовых пиков, которые попали под действие интегрального ядра-ступеньки (функции Хевисайда).

\n $\"deconvolution\"/$ ","frontmatter":{"shortTitle":"Обратные задачи","title":"Статистическая регуляризация некорректных обратных задач","id":"deconvolution"}}},{"node":{"html":"\n \n \n

\n

\n $\"Under$ \n

\n

\n

Этот раздел дорабатывается...

\n

","frontmatter":{"shortTitle":"Функции значимости","title":"Оптимальное планирование эксперимента при помощи функций значимости параметров","id":"significance"}}}]},"en_projects":{"edges":[{"node":{"html":"

One of the tasks solved by the group is the popularization and development of the statistical regularization method created by V.F. Turchin in the 70s of the XX century.

\n

A typical incorrect inverse problem that arises in physics is the Fredholm equation of the first kind:

\n

f(y) = \\int \\limits_a^b dx K(x,y)\\varphi(x)

\n

In fact, this equation describes the following: the hardware function of the device $K(x,y)$ acts on the studied spectrum or other input signal $\\varphi$ , as a result, the researcher observes the output signal $f(y)$ . The aim of the researcher is to restore the signal $\\varphi$ from the known $f(y)$ and $K(x,y)$ . It would seem that signal recovery is not a difficult task, since the Fredholm equation has an exact solution. But the Fredholm equation is incorrect - an infinitesimal change in the initial conditions leads to a final change in the solution. Thus, the presence of noise present in any experiment invalidates attempts to solve this equation for sure.

\n

Theory

\n

Consider a certain algebraization of the Fredholm equation:

\n

f_m = K_{mn}\\varphi_n

\n

In terms of mathematical statistics, we must evaluate $\\vec{\\varphi}$ using implementation $\\vec{f}$ , knowing the probability density for $\\vec{f}$ and matrix $K$ content. Acting in the spirit of decision theory, we must choose a vector function $\\vec{S}$ , defining $\\vec{\\varphi}$ on base of $\\vec{f}$ and called strategy. In order to determine which strategies are more optimal, we introduce the squared loss function:

\n

L(\\hat{\\varphi},\\vec{S}) = (\\hat{\\varphi}-\\vec{S})^2,

\n

where $\\hat{\\varphi}$ — the best decision. According to the Bayesian approach, we consider $\\vec{\\varphi}$ as random variable and move our uncertainty about $\\vec{\\varphi}$ in prior density $P(\\vec{\\varphi})$ , Expressing reliability of the various possible laws of nature and determined on the basis of information prior to the experiment. With this approach, the choice of an optimal strategy is based on minimizing aposterior risk:

\n

r_{\\vec{S}}(\\vec{\\varphi}) \\equiv E_{\\vec{\\varphi}}E_{\\vec{f}}[L(\\vec{\\varphi},\\vec{S})|\\vec{\\varphi}]

\n

Then the optimal strategy in case of the square loss function is well known:

\n

S^{opt} _n= E[\\varphi_n|\\vec{f}] = \\int \\varphi_n P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})d\\vec{\\varphi}

\n

Aposterior density $P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})$ is determined by the Bayes theorem:

\n

P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})= \\frac{P(\\vec{\\varphi})P(\\vec{f}|\\vec{\\varphi})}{\\int d\\vec{\\varphi}P(\\vec{\\varphi})P(\\vec{f}|\\vec{\\varphi})}

\n

In addition, this approach allows us to determine the dispersion of the resulting solution:

\n

\\left\\langle \\sigma_n^2 \\right\\rangle = \\int (\\varphi_n - S^{opt}_n)^2 P(\\vec{\\varphi}|\\vec{f})d\\vec{\\varphi}

\n

We got the solution by introducing a priori density $P(\\vec{\\varphi})$ . Can we say anything about the world of $\\varphi(x)$ functions, which is defined by a priori density? If the answer to this question is no, we will have to accept all possible $\\varphi(x)$ equally probable and return to the irregular solution. Thus, we should answer this question positively. This is the statistical regularization method - regularization of the solution by introducing additional a priori information about $\\varphi(x)$ . If a researcher already has some a priori information (a priori density of $P(\\vec{\\varphi})$ ), he can simply calculate the integral and get an answer. If there is no such information, the following paragraph describes what minimal information a researcher can have and how to use it to obtain a regularized solution.

\n

Prior information

\n

As British scientists have shown, the rest of the world likes to differentiate. Moreover, if a mathematician will be asked questions about the validity of this operation, the physicist optimistically believes that the laws of nature are described by \"good\" functions, that is, smooth. In other words, he assigns smoother $\\varphi(x)$ a higher a priori probability density. So let's try to introduce an a priori probability based on smoothness. To do this, we will remember that the introduction of the a priori probability is some kind of violence against the world, forcing the laws of nature to look comfortable for us. This violence should be minimized, and by introducing an a priori probability density, it is necessary that _ Shannon_'s information regarding $\\varphi(x)$ contained in $P(\\vec{\\varphi})$ be minimal. Formalizing the above, let us derive a type of a priori density based on the smoothness of the function. For this purpose, we will search for a conditional extremum of information:

\n

I[P(\\vec{\\varphi})] = \\int \\ln{P(\\vec{\\varphi})} P(\\vec{\\varphi}) d\\vec{\\varphi} \\to min

\n

Under the following conditions:

\n

Condition for smoothness $\\varphi(x)$ . Let $\\Omega$ be some matrix characterizing the smoothness of the function. Then we demand that a certain value of the smoothness functional is achieved:

\n

\\int (\\vec{\\varphi},\\Omega\\vec{\\varphi}) P(\\vec{\\varphi}) d\\vec{\\varphi} = \\omega

\n

The attentive reader should ask a question about the definition of $\\omega$ . The answer to this question will be given further down the text.

\n

The normality of probability per unit:

\n

\\int P(\\vec{\\varphi}) d\\vec{\\varphi} = 1

\n

Under these conditions, the following function will deliver a minimum to the function:

\n

P_{\\alpha}(\\vec{\\varphi}) = \\frac{\\alpha^{Rg(\\Omega)/2}\\det\\Omega^{1/2}}{(2\\pi)^{N/2}} \\exp(-\\frac{1}{2} (\\vec{\\varphi},\\alpha\\Omega\\vec{\\varphi}))

\n

The $\\alpha$ parameter is associated with $\\omega$ , but since we don't actually have information about the specific values of the smoothness functionality, it makes no sense to find out how it is associated. Then what to do with $\\alpha$ , you ask? There are three paths:

\n

select the value of the parameter $\\alpha$ manually, and thus proceed to regularization of Tikhonov
average all possible $\\alpha$ , assuming all possible $\\alpha$ equally probable
choose the most likely $\\alpha$ by its a posteriori probability density of $P(\\alpha|\\vec{f})$ . This approach is correct if we assume that the experimental data contains enough information about $\\alpha$

\n

The first case is of little interest to us. In the second case, we get the following formula for the solution:

\n

\\left\\langle \\varphi_i \\right\\rangle = \\frac{\\int d\\varphi\\, \\varphi_i P(f|\\varphi) \\int\\limits d\\alpha\\,P(\\alpha) \\alpha^{\\frac{Rg(\\Omega)}{2}} \\exp(-\\frac{\\alpha}{2} (\\vec{\\varphi},\\Omega\\vec{\\varphi}))}{\\int d\\varphi P(f|\\varphi) \\int\\limits d\\alpha\\,P(\\alpha) \\alpha^{\\frac{Rg(\\Omega)}{2}} \\exp(-\\frac{\\alpha}{2} (\\vec{\\varphi},\\Omega\\vec{\\varphi}))}

\n

The third case will be considered in the next section using the example of Gaussian noises in an experiment.

\n

Gaussian noises case

\n

The case where the errors in the experiment are Gaussian distributed is remarkable in that an analytical solution to our problem can be obtained. The solution and its error will be as follows:

\n

\\vec{\\varphi} = (K^T\\Sigma^{-1}K +\\alpha^*\\Omega)^{-1}K^T\\Sigma^{-1^{T}}\\vec{f}

\n

\\Sigma_{\\vec{\\varphi}} = (K^T\\Sigma^{-1}K+\\alpha^*\\Omega)^{-1}

\n

where $\\Sigma$ - covariance matrix of a multidimensional Gaussian distribution, $\\alpha^*$ - the most probable value of the parameter $\\alpha$ , which is determined from the condition of maximum a posteriori probability density:

\n

P(\\alpha|\\vec{f}) = C39; \\alpha^{\\frac{Rg(\\Omega)}{2}}\\sqrt{|(K^T\\Sigma^{-1}K+\\alpha\\Omega)^{-1}|}\\exp(\\frac{1}{2} \\vec{f}^T\\Sigma^{-1}K^{T}(K^T\\Sigma^{-1}K+\\alpha\\Omega)^{-1}K^T\\Sigma^{-1^{T}}\\vec{f})

\n

As an example, we consider the reconstruction of a spectrum consisting of two Gaussian peaks that fell under the action of an integral step kernel (Heaviside function).

\n $\"deconvolution\"/$ ","frontmatter":{"shortTitle":"Inverse problems","title":"Statistical regularization of incorrect inverse problems","id":"deconvolution"}}},{"node":{"html":"\n \n \n

\n

\n $\"Under$ \n

\n

\n

This section is being finalized ...

\n

","frontmatter":{"shortTitle":"Significance functions","title":"Optimal experiment planning with parameter significance functions","id":"significance"}}}]}},"pageContext":{"isCreatedByStatefulCreatePages":true,"intl":{"language":"en","languages":["ru","en"],"messages":{"title":"NPM GROUP","language":"en","description":"Nuclear physics methods laboratory","header.news":"News","header.group":"Group","header.projects":"Projects","header.partners":"Partners","notfound.header":"NOT FOUND","notfound.description":"You just hit a route that doesn't exist.","jumbotron.labintro":"Nuclear physics methods laboratory","jumbotron.lead":"Features of our approach to solving scientific problems of today: ","jumbotron.list":"

The laboratory was established on the basis of MIPT, which allows involving a large number of interested students.
By combining scientific work with educational process, we ensure continuity of scientific experience.
The structure of our laboratory allows even junior students to take part in world-class experiments.
We use the most modern methods in our work on physical experiments.

","jumbotron.about":"About our laboratory","more.nuclear_title":"Nuclear physics","more.nuclear_body":"The laboratory participates in several international particle physics experiments, such as the GERDA neutrine-free double beta decay experiment, the Troitsk nu-mass neutrino mass search experiment and so on.","more.nuclear_more":"More »","more.education_title":"Education","more.education_body":"The tasks of the laboratory include the development of new educational programs in physics and methods of physical experiment, as well as improving the existing methodological and information base in MIPT and in academic institutes.","more.education_more":"More »","more.software_title":"Computational methods","more.software_body":"One of the main activities is the development of computational methods and open source software for use in education and scientific activities.","more.software_more":"More »","more.news":"Latest news","about.title":"Nuclear physics methods group","about.descr":"The group was created in 2015 on the basis of the Department of General Physics, MIPT, several laboratories of the INR RAS and with the support of the Laboratory of High Energy Physics, MIPT. The purpose of the creation is the development of methods for conducting and analyzing data from experiments in the field of particle physics and nuclear physics. In addition, members of the group are engaged in the implementation of modern information technologies in experimental physics and education.","about.pubs.title":"Publications","about.pubs.available1":"Group`s publications are available at ","about.pubs.available2":"this page","about.contacts.title":"Contact information","about.contacts.mail":"Email: ","about.contacts.telegram":"Telegram: ","partners.mipt.title_fund":"MIPT department of general physics","partners.mipt.description_fund":"The Department of General Physics is the main point of contact for scientists and teachers on the one hand and students on the other. Close cooperation with the department is the key to a constant influx of young employees, as well as continuous self-improvement of group members working with students.","partners.mipt.title_energy":"MIPT laboratory of high-energy physics","partners.mipt.description_energy":"Close cooperation with the laboratory of high-energy physics allows for direct contact between education and the scientific community, without going beyond the bounds of MIPT.","partners.jb.description":"Laboratory actively cooperates with JetBrains in introducing Kotlin into scientific programming, teaching Kotlin and developing libraries on it.","partners.jbr.description":"The software development group is a part of an international scientific association JetBrains Research.","partners.ras.title_exp":"Department of experimental physics, INR RAS","partners.ras.description_exp":"Very close cooperation is being maintained with the OEF of the INR RAS in the framework of the Troitsk nu-mass and KATRIN collaborations, as well as in terms of training qualified personnel for work on the NICA experiment and in other accelerator experiments. Within the framework of cooperation, both scientific and educational tasks are implemented.","partners.ras.title_beam":"Beam Laboratory, INR RAS","partners.ras.description_beam":"The Laboratory of a Linear Accelerator Beam Laboratory of the INR RAS is responsible for wiring and diagnostics of the accelerator beam, and is also developing the beam diagnostic systems used around the world. The group runs several joint educational projects with this laboratory.","partners.ras.title_education":"Scientific and educational center, INR RAS","partners.ras.description_education":"Some of the students participating in the group study at the Scientific and Educational Center of the INR RAS.","partners.ras.title_iki":"SRI RAS","partners.ras.description_iki":"The group is involved in the mathematical modeling of electrical discharges in the atmosphere.","physics.bc_title":"Physics","physics.title":"Nuclear physics","physics.description":"Traditionally, nuclear physics includes not only research related to the structure of the atomic nucleus and nuclear reactions, but also the entire physics of elementary particles, as well as partly some sections of astrophysics and cosmology. Currently, the efforts of our group are concentrated in the field of so-called non-accelerator experiments in elementary particle physics.","education.bc_title":"Education","education.title":"Education","education.description":"Educational projects in the field of nuclear physics and methods for conducting and analyzing the results of a physical experiment are one of the key activities of the group.","education.course1":"Details available at ","education.course2":"the course page","math.bc_title":"Maths","math.title":"Mathematical methods","math.description":"Mathematical modeling of physical processes and mathematical methods of data analysis are an integral part of modern experimental physics. There is a constant need for both improving existing methods and developing fundamentally new approaches.","software.bc_title":"Software","software.title":"Scientific software","software.description":"Modern experiments in particle physics are inconceivable without special software, which is required both at the stage of the experiment and data collection, and in processing the results. The development of scientific software is an additional, but significant area of work for the group.","quarks":"Physics"},"routed":true,"originalPath":"/projects/math/","redirect":true}}}}